To: поперечный
Re: Прямая, точка и окружность.
1. В общем случае решения будет четыре. Два варианта возникают из-за
расположения данной окружности снаружи/внутри искомой, и каждый из них
распадается на 2 при решении квадратного уравнения.
2. Квадратное уравнение строится довольно просто, формульный ответ для
координат можно считать алгоритмом построения, т.к. все используемые в
формуле арифметические действия можно повторить для исходных отрезков
при помощи циркуля и линейки.
Действительно, если заданы единичный отрезок и произвольные отрезки c
длинами a и b, то мы всегда можем построить a+b; a-b; a*b; a/b; sqrt(a)
(Последнее построение неочевидно, но в комментариях уже подробно
обсуждалось)
3. Не исключено, что получаемая формула вида x=p+-q может иметь простую
геометрическую интерпретацию. Если считать, что данная в условии задачи
прямая параллельна оси х, то p есть ни что иное, как абсцисса
пересечения исходной прямой с прямой, проведенной через исходную точку
и "верх" (или "низ", 2 других решения) исходной окружности. К сожалению,
мне удалось найти красивое построение для q исключительно в случае
упрощенной задачи (две точки и прямая) (См. полемику с ВТВО.)
4. Составление квадратного уравнения.
Пусть данная точка - T; данная прямая - ДП, для определенности она
горизонтальна; данная окружность: центр o, радиус r, лежит выше ДП;
искомая окружность - O, R.
Геометрическое место точек, равноудаленной от данной точки и прямой -
парабола. Строим систему координат: ось х параллельна ДП и проходит
посередине между ДП и Т, координаты Т принимаются как (0;1/2). Тогда ДП
и Т - соответственно директриса и фокус параболы y=x^2, точка О лежит на
этой параболе.
Обозначим координаты о как (a, b-1/4). Рассмотрим случай, когда
окружность o,r касается СНАРУЖИ окружности O,R. Рассмотрим окружность
O,R+r. Она пройдет через о и коснется прямой y=-1/4-r; т.е. мы имеем
фокус и директрису для второй параболы
y=(1/(2b+2r))*(x-a)^2+(b-r)/2-1/4
Искомая система уравнений для координат O
x^2=1/(2b+2r))*(x-a)^2+(b-r)/2-1/4
y=x^2
Случай касания ВНУТРИ рассматривается аналогично ( изучается окружность
O,R-r и прямая у=-1/4+r)
Nick